进制转换的原理是什么?

曹文雯2022年12月21日
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老实说,在我一开始学编程的时候,根本没有去关注进制之间的转换问题,直到后来阅读了一本《程序是怎样跑起来的》,里面对进制转换,尤其是十进制和二进制之间的转换,感觉十分有趣。

比如说二进制左移一位,会发生什么?

右移一位,又会发生什么?

明白了之后,当我再去阅读 JDK 的一些涉及到位移/取余的代码的时候,就会恍然大悟,哦,原来如此啊。那今天这篇内容也希望给球友们一些帮助和参考。

二进制换十进制 是比 十进制换二进制更基础的,我们从这里讲起。

进制这事儿,说到底就是位值原理,即:

同一个数字,放在不同的数位上,代表不同大小的数

例如:十进制中,百位上的1表示100,十位上的1表示10.

十进制之中,每个数都可以被拆开:

123=1×100+2×10+3×1

9876=9×1000+8×100+7×10+6×1

这个事情先搞清爽,然后我们就可以为拓展进制做准备了:

试回答这个问题:为啥相应的数位是1000、100、10、1?为啥不是4、3、2、1?

答:满十进一,再满十再进一,因此要想进到第三位,得有10×10;第4位得有10×10×10

这样我们就知道了,对10进制,从低位到高位,依次要乘上:

10^0(10的0次方,后同),10^1,10^2,10^3……

下面我们开始换进制玩儿:

进制换成 进制

也就是把10换成2

那么我们得到:

对2进制,从低位到高位,依次要乘以2^0,2^1,2^2,2^3……

也就是1、2、4、8、……

因此原来十进制咱们叫 十位、百位、千位……

现在二进制其实是 二位、四位、八位……

这样我们就能做十进制换二进制了:

比如:二进制数1011=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11

(由于二进制中非零的数只有1,所以其实等同于:

个位有数就加1,二位有数就加2,四位有数就加4……)

接下来我们进行十进制往二进制的转换:

比较小的数,直接通过拆分就可以转换回去

比如13,我们数一数,1、2、4、8、16……,唔,不能包含16了,那就只能包含8。 13-8=5,5当中有4,5-4=1

好啦,我们知道13=8+4+1

接着把她对应回相应位置去,8是从低往高数的第4位,4是从低往高数的第3位,1是从低往高数的第1位

于是13=二进制数1101

然后就多练习这个,反复练,让自己熟悉这个感觉:

17=16+1=二进制10001

19=16+2+1=二进制10011

30=16+8+4+2=二进制11110

……

比较熟悉之后就可以看看高级的短除法化二进制了(不要偷懒哦!先去把前面的练熟!):

粗鄙地来做的话,现在你按照书上说的短除法来试试,会发现它和你凑数得到的结果刚好是一样的,好神奇~

以后就按这个做吧!

想要知道其中的道理的话:

(1)一个二进制数末尾是1,意味着一定是……+1,前面的每个数都是2的倍数,只有最后的+1不是

所以一个二进制数末尾是1,意味着它对应的十进制数除以2一定是余1的。

所以第一次除以2之后的余数,就是转换结果中的最后一位。

(2)如果一个二进制数从低往高第2位是1,我们希望把它转换为(1)的情况,那么我们把这个二进制数的末尾抹掉。

抹掉尾巴的二进制数,和原来的二进制数相比,每个数都往低位错了1位,相当于除以2.

末尾的尾巴丢掉了,相当于我们把余数丢掉了。

而这个除以2的步骤,刚好是(1)当中判断末尾是不是1的步骤,所以我们刚好可以继续做下去。

对这个抹掉了尾巴的二进制数(十进制来说就是原数除以二之后的商),我们继续(1)的做法,把它除以2,看余数。

……

如此继续下去,就可以得到短除法的结论了。

比如说十进制整体右移一位(相当于小数点左移一位),是除以十。十进制除以十,类比过来,二进制除以二

参考链接:https://www.zhihu.com/question/20993504/answer/16946150open in new window

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